Тип 10 № 7469 Основания трапеции равны 7 и 63, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{4\sqrt{3}}{7}$$. Найдите площадь трапеции.

Решение: Обозначим основания трапеции как $$a = 7$$ и $$b = 63$$, а боковую сторону как $$c = 18$$. Косинус угла между боковой стороной и основанием равен $$\frac{4\sqrt{3}}{7}$$. 1. Найдем высоту трапеции ($$h$$). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Пусть эта часть большего основания равна $$x$$. Тогда: $$\cos(\alpha) = \frac{x}{c}$$ $$\frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{x}{18}$$ $$x = 18 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{72\sqrt{3}}{7}$$ 2. Найдем высоту $$h$$ из теоремы Пифагора: $$h^2 + x^2 = c^2$$ $$h^2 + (\frac{72\sqrt{3}}{7})^2 = 18^2$$ $$h^2 + \frac{72^2 \cdot 3}{7^2} = 324$$ $$h^2 = 324 - \frac{5184 \cdot 3}{49} = 324 - \frac{15552}{49} = \frac{324 \cdot 49 - 15552}{49} = \frac{15876 - 15552}{49} = \frac{324}{49}$$ $$h = \sqrt{\frac{324}{49}} = \frac{18}{7}$$ 3. Найдем площадь трапеции ($$S$$) по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$ $$S = \frac{7 + 63}{2} \cdot \frac{18}{7} = \frac{70}{2} \cdot \frac{18}{7} = 35 \cdot \frac{18}{7} = 5 \cdot 18 = 90$$ Ответ: **90**