10. Тип 10 № 7460 Основания трапеции равны 1 и 13, одна из боковых сторон равна $$15\sqrt{2}$$, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC = 1, AD = 13, AB = $$15\sqrt{2}$$, и угол A = 135°. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Тогда угол ABH = 180° - 135° = 45°. В прямоугольном треугольнике ABH угол ABH = 45°, следовательно, и угол BAH = 45°, то есть треугольник ABH - равнобедренный. Значит, AH = BH. По теореме Пифагора для треугольника ABH: $$AH^2 + BH^2 = AB^2$$. Так как AH = BH, то $$2AH^2 = (15\sqrt{2})^2 = 450$$. $$AH^2 = 225$$, следовательно, AH = BH = 15. Теперь найдем HD: HD = AD - AH = 13 - 15 = -2. Это невозможно, следовательно, угол 135° образован боковой стороной и меньшим основанием. Проведем высоту CK. Тогда AK = AD - BC - KD. $$KD = \frac{CK}{tg(45)} = CK$$, $$AD = 13, BC = 1$$. $$S = \frac{BC + AD}{2} * BH = \frac{1 + 13}{2} * 15 = 7 * 15 = 105$$ Ответ: 105