Тип 15 № 339385. Площадь прямоугольного треугольника равна $$722\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой, угол A = 30°. Площадь треугольника равна $$722\sqrt{3}$$. Нужно найти длину катета BC, лежащего напротив угла A.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как половину произведения катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$$

Известно, что угол A = 30°. Тогда, tg(A) = \frac{BC}{AC}

$$tg(30°) = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$AC = \frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3BC}{\sqrt{3}} = BC\sqrt{3}$$

Подставим выражение для AC в формулу площади:

$$S = \frac{1}{2} \cdot (BC\sqrt{3}) \cdot BC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BC^2$$

$$722\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BC^2$$

$$BC^2 = \frac{722\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 722 \cdot 2 = 1444$$

$$BC = \sqrt{1444} = 38$$

Ответ: 38