Тип 4 № 36 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма ее первых пяти членов равна 31. Найдите первый член прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $$S = \frac{b_1}{1-q} = 32$$ Сумма первых пяти членов: $$S_5 = b_1 \frac{1-q^5}{1-q} = 31$$ Разделим второе уравнение на первое: $$\frac{b_1 \frac{1-q^5}{1-q}}{\frac{b_1}{1-q}} = \frac{31}{32}$$ $$\frac{1-q^5}{1} = \frac{31}{32}$$ $$1-q^5 = \frac{31}{32}$$ $$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$$ $$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$$ Теперь найдем первый член прогрессии: $$\frac{b_1}{1-\frac{1}{2}} = 32$$ $$\frac{b_1}{\frac{1}{2}} = 32$$ $$b_1 = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$$ Ответ: 16