Тип 24 № 316386 В окружности через середину O хорды BD проведена хорда АС так, что дуги АВ и CD равны. Докажите, что О — середина хорды АС.

Дано: Окружность, хорда BD, O - середина BD, хорда AC проходит через O, дуга AB = дуге CD. Доказать: O - середина AC. Доказательство: 1. Так как дуги AB и CD равны, то равны и стягивающие их хорды: AB = CD. 2. Рассмотрим треугольники ABO и CDO. В них: * AB = CD (по доказанному) * BO = DO (так как O - середина BD) * ∠ABO = ∠CDO (как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги AC) 3. Следовательно, треугольники ABO и CDO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AO = CO. 5. Таким образом, O - середина AC, что и требовалось доказать.