3. Тип 18 № 6760 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и У, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АХ, если АХ = 14.

Т.к. AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный, следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA = 75^\circ\). Тогда \(\angle ABC = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ\). Т.к. AX = BX, то треугольник ABX - равнобедренный, следовательно, \(\angle BAX = \angle ABX = 30^\circ\). Тогда \(\angle AXB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). Т.к. \(\angle BAX = \angle YAX\), то \(\angle YAX = 30^\circ\). Тогда \(\angle BAY = \angle BAX + \angle YAX = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\). Рассмотрим треугольник ABY: \(\angle ABY = 30^\circ\), \(\angle BAY = 60^\circ\), следовательно, \(\angle AYB = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\). Значит, треугольник ABY - прямоугольный. В прямоугольном треугольнике ABY, \(\angle ABY = 30^\circ\), следовательно, AY = \(\frac{1}{2}\) AB. Т.к. AX = BX, то AB = 2AX = 2 \cdot 14 = 28. Тогда AY = \(\frac{1}{2}\) \cdot 28 = 14.

Ответ: 14

Проверка за 10 секунд: Длина отрезка AY равна 14.

Доп. профит: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.