17. Тип 15 № 1097 В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

1. Так как ВН - высота, то треугольник BHC - прямоугольный. Найдём угол \( \angle CBH \): \( \angle CBH = 90° - \angle ACB = 90° - 40° = 50° \)
2. Рассмотрим треугольник ABH. Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём угол \( \angle BAH \): \( \angle BAH = 180° - \angle AHB - \angle ABH \). Нам неизвестен угол ABH, поэтому найдём его из треугольника ABC: \( \angle ABC = 180° - \angle ACB - \angle BAC \)
3. Найдём AH: AH = AC - HC = 216 - 54 = 162.
4. Треугольник ABH прямоугольный, \( \angle BAH = 90° - \angle ABH \). Нам нужно найти \( \angle ABH \).
5. Так как BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 216/2 = 108. Тогда AM = 108.
6. Рассмотрим треугольник AMC. Он равнобедренный, так как AM = MC. Тогда углы при основании равны: \( \angle MAC = \angle MCA = 40° \)
7. Теперь найдём угол ABH: \( \angle ABH = \angle ABC - \angle CBH \). Найдём \( \angle ABC \): \( \angle ABC = 180° - \angle ACB - \angle BAC = 180° - 40° - 40° = 100° \)
8. Тогда \( \angle ABH = 100° - 50° = 50° \)
9. Рассмотрим треугольник ABH: \( \angle BAH = 90° - \angle ABH = 90° - 50° = 40° \)
10. Теперь рассмотрим треугольник ABM. Найдём угол BAM: \( \angle BAM = \angle BAC = 40° \). Найдём угол ABM: \( \angle ABM = \angle ABC = 100° \). Найдём угол AMB: \( \angle AMB = 180° - \angle BAM - \angle ABM = 180° - 40° - 100° = 40° \)

Ответ: 40°