18. Тип 17 № 2011 Вася и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вася думает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Вася делает так: $$\frac{6}{4} = \frac{6-3}{4-2} = \frac{3}{2}$$. Маша считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя от- нять 1. Маша делает так: $$\frac{4}{2} = \frac{4-2}{2-1} = \frac{2}{1}$$. Вася и Маша (не обязательно по очереди) два- дцать раз «сократили» дробь $$\frac{2018}{2019}$$ по своим правилам и получили дробь со знаменате- лем 1995. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Пусть $$x$$ - количество раз, когда Вася сокращал дробь, а $$y$$ - количество раз, когда Маша сокращала дробь. Тогда $$x + y = 20$$. После сокращений Васи дробь $$\frac{2018}{2019}$$ превращается в $$\frac{2018-3x}{2019-2x}$$, а после сокращений Маши она превращается в $$\frac{2018-3x-2y}{2019-2x-y}$$. Из условия известно, что знаменатель получившейся дроби равен 1995, то есть: $$2019 - 2x - y = 1995$$ $$2x + y = 2019 - 1995$$ $$2x + y = 24$$ У нас есть два уравнения: 1. $$x + y = 20$$ 2. $$2x + y = 24$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$(2x + y) - (x + y) = 24 - 20$$ $$x = 4$$ Теперь найдем $$y$$: $$4 + y = 20$$ $$y = 16$$ Теперь найдем числитель получившейся дроби: $$2018 - 3x - 2y = 2018 - 3 * 4 - 2 * 16 = 2018 - 12 - 32 = 2018 - 44 = 1974$$ Ответ: Числитель получившейся дроби равен 1974.