Тип 22 № 338105. Постройте график функции y = 4|x + 6| − x² − 11x − 30 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль по определению:

При \(x<-6\): \(y=-4(x+6)-x^2-11x-30=-x^2-15x-54\).

При \(x\geq -6\): \(y=4(x+6)-x^2-11x-30=-x^2-7x-6\).

Получаем график из двух ветвей парабол. Левая ветвь имеет максимум \(\frac{9}{4}\) при \(x=-\frac{15}{2}\), а правая — максимум \(\frac{25}{4}\) при \(x=-\frac{7}{2}\).

На уровне \(m=0\) график пересекается с прямой в точках с абсциссами \(-9,-6,-1\), то есть общих точек три. На уровне \(m=\frac{9}{4}\) левая ветвь касается прямой в вершине, а правая пересекает её в двух точках — всего также три.

Для остальных уровней число пересечений иное: при \(m<0\) — два, при \(0<m<\frac{9}{4}\) — четыре, при \(\frac{9}{4}<m<\frac{25}{4}\) — два, при \(m=\frac{25}{4}\) — одно, а при \(m>\frac{25}{4}\) — ни одного.

Ответ: \(m=0\) или \(m=\frac{9}{4}\).