Тип 25 № 340054. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Обозначим меньшее и большее основания через \(a\) и \(b\), боковую сторону — через \(l\), высоту — через \(h\).

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны. Поэтому \(a+b=2l\). Вместе с периметром получаем \(a+b+2l=120\), откуда \(a+b=60\) и \(l=30\).

Из формулы площади трапеции: \(540=\frac{a+b}{2}h=30h\), значит, \(h=18\).

Опустим высоты от концов меньшего основания. Каждый боковой прямоугольный треугольник имеет гипотенузу 30 и высоту 18, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна \(\sqrt{30^2-18^2}=24\). Так как трапеция равнобедренная, \(b-a=2\cdot24=48\). Решая систему \(a+b=60\), \(b-a=48\), получаем \(a=6\), \(b=54\).

Диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении оснований. Поэтому расстояние от этой точки до меньшего основания равно \(h\cdot\frac{a}{a+b}=18\cdot\frac{6}{60}=1.8\).

Ответ: 1,8.