16 Тип Д10 № 316346 i Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 8

Разбираемся:

• Пусть a - боковая сторона треугольника, α - угол при вершине, противолежащий основанию.
• Радиус описанной окружности R может быть найден по теореме синусов: \[\frac{a}{\sin{\alpha}} = 2R\]
• Выразим радиус R: \[R = \frac{a}{2\sin{\alpha}}\]

Подставляем значения:

• \( a = 4 \)
• \( \alpha = 120^\circ \), значит, \( \sin{120^\circ} = \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\[R = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

Диаметр окружности равен:

\[D = 2R = 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}\]

Домножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[D = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Рассмотрим треугольник, образованный боковыми сторонами и основанием. Углы при основании этого треугольника равны: \[(180° - 120°):2 = 30°\]

По теореме синусов, \[ \frac{4}{sin 30°} = D \]

Так как синус 30 градусов = 0,5, получаем \[ D = \frac{4}{0.5} = 8 \]

Ответ: 8