Тип Д17 С17 № 9657. Задумано двузначное число, которое делится на 8. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумано?

Пусть задумано двузначное число \(n\). Приписывание его справа от самого себя даёт число \(101n\).

Чтобы \(101n\) делилось на 11, учитываем, что \(101=99+2\): остаток при делении \(101n\) на 11 совпадает с остатком \(2n\). Значит, \(2n\) делится на 11, а так как 2 и 11 взаимно просты, число \(n\) делится на 11.

Число \(n\) также делится на 8, поэтому оно делится на \(\operatorname{НОК}(8,11)=88\). Единственное двузначное такое число — 88. Проверка: 88 делится на 8, а полученное число 8888 делится на 11.

Ответ: 88.