Тип 15. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, AC = AD и \(\angle ABC = 108^\circ\). Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Дано: трапеция ABCD, AB = CD, AC = AD, \(\angle ABC = 108^\circ\). Найти: \(\angle CAD\). Решение: 1. Трапеция ABCD равнобедренная, так как AB = CD. Следовательно, углы при основании AD равны, то есть \(\angle BAD = \angle CDA\). 2. Поскольку ABCD - трапеция, то BC || AD. Значит, \(\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ\) (как внутренние односторонние углы). Отсюда, \(\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник ACD. Так как AC = AD, то треугольник ACD - равнобедренный, и \(\angle ACD = \angle ADC = \angle CDA = 72^\circ\). 4. Теперь найдем \(\angle CAD\) в треугольнике ACD. Сумма углов в треугольнике равна 180^\circ, поэтому \(\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle ADC = 180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ\). Ответ: 36