5. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС.Точки М; Р; К; Т – середины соответствующих отрезков BC; DC; AD и АВ. Определите вид четырёхугольника МРКТ.

Ответ: МРКТ - параллелограмм.

Решение:

• Рассмотрим треугольник BCD. Точки M и P - середины сторон BC и DC соответственно. Значит, MP - средняя линия треугольника BCD. Следовательно, MP || BD и MP = 1/2 BD.
• Рассмотрим треугольник ABD. Точки T и K - середины сторон AB и AD соответственно. Значит, TK - средняя линия треугольника ABD. Следовательно, TK || BD и TK = 1/2 BD.
• Из пунктов 1 и 2 следует, что MP || TK и MP = TK.
• Аналогично, рассмотрим треугольник ADC. Точки P и K - середины сторон DC и AD соответственно. Значит, PK - средняя линия треугольника ADC. Следовательно, PK || AC и PK = 1/2 AC.
• Рассмотрим треугольник ABC. Точки M и T - середины сторон BC и AB соответственно. Значит, MT - средняя линия треугольника ABC. Следовательно, MT || AC и MT = 1/2 AC.
• Из пунктов 4 и 5 следует, что PK || MT и PK = MT.
• Таким образом, в четырехугольнике МРКТ противоположные стороны параллельны и равны, что является признаком параллелограмма.

Ответ: МРКТ - параллелограмм.