Точка D удалена от каждой из сторон прямоугольного треугольника ABC (∠C=90°) на расстояние √13 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС, если АС=12 см, ВС=5 см.

Пусть r - расстояние от точки D до каждой из сторон треугольника ABC, h - расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC.

Площадь треугольника ABC равна:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \] см²

Полупериметр треугольника ABC равен:

\[ p = \frac{AC + BC + AB}{2} \]

Найдем AB по теореме Пифагора:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]

\[ p = \frac{12 + 5 + 13}{2} = 15 \]

Площадь треугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности r и полупериметр p:

\[ S = pr \]

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{30}{15} = 2 \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный расстоянием от точки D до стороны треугольника, расстоянием от точки D до плоскости треугольника и радиусом вписанной окружности. По теореме Пифагора:

\[ h = \sqrt{r^2 - R^2} \]

\[ h = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \sqrt{13 - 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Ответ: 3 см