В правильной четырехугольной пирамиды SABCD диагональ основания равна 2√10, боковые ребра образуют с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды SABCD.

Шаг 1: Найдем сторону основания.

Диагональ квадрата связана со стороной a соотношением:

\[ d = a\sqrt{2} \]

\[ 2\sqrt{10} = a\sqrt{2} \]

\[ a = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{5} \]

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания равен отношению высоты пирамиды к половине диагонали основания:

\[ tg(60^\circ) = \frac{h}{\frac{d}{2}} \]

\[ h = tg(60^\circ) \cdot \frac{d}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{30} \]

Шаг 3: Найдем апофему.

Апофема l - высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. По теореме Пифагора:

\[ l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{30})^2 + (\frac{2\sqrt{5}}{2})^2} = \sqrt{30 + 5} = \sqrt{35} \]

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} P l = \frac{1}{2} (4a) l = 2al = 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{35} = 4 \sqrt{175} = 4 \cdot 5 \sqrt{7} = 20\sqrt{7} \]

Ответ: 20\(\sqrt{7}\)