24. Точка F – середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника FCD равна половине площади трапеции.

Разбираемся: Тут нужно воспользоваться свойствами трапеции и медианы треугольника.

Доказательство:

1. Обозначим основания трапеции \(BC = a\) и \(AD = b\), высоту трапеции \(h\). Тогда площадь трапеции \(ABCD\) равна:
   \[S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h\]
2. Так как \(F\) – середина \(AB\), то \(AF = FB\). Проведём высоту \(FK\) к основанию \(CD\) из точки \(F\). Тогда \(FK = \frac{h}{2}\).
3. Площадь треугольника \(FCD\) можно найти как сумму площадей треугольников \(BCF\) и \(ADF\). Площадь треугольника \(BCF\) равна:
   \[S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}\]Площадь треугольника \(ADF\) равна:
   \[S_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4}\]Тогда площадь треугольника \(FCD\) равна:
   \[S_{FCD} = S_{BCF} + S_{ADF} = \frac{ah}{4} + \frac{bh}{4} = \frac{(a + b)h}{4}\]
4. Сравним площадь треугольника \(FCD\) и площадь трапеции \(ABCD\):
   \[S_{ABCD} = \frac{(a + b)h}{2}\]
   \[S_{FCD} = \frac{(a + b)h}{4}\]Видим, что \(S_{FCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}\).

Ч.Т.Д.