25. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=28, АС=56, точка О – центр окруж- ности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекаст сторону АС в точке D. Найдите CD.

Пусть AB = 28, AC = 56, AO - радиус описанной окружности, BD ⊥ AO.

Обозначим ∠BAC = α.

∠BDO = 90°, так как BD ⊥ AO.

В прямоугольном треугольнике ABO: ∠BAO = 90° - α.

∠BOC = 2 * ∠BAC = 2α (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу).

∠B = 180° - ∠A - ∠C.

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin A} = 2R$$

$$\frac{AC}{\sin B} = 2R$$

$$\frac{AB}{\sin C} = 2R$$

AC = 56, AB = 28, следовательно, AC = 2AB, значит sin B = 2 sin C, но угол B может быть и тупым, так как не указано, какой это треугольник.

Предположим, что треугольник равнобедренный, тогда AB = BC, ∠C = ∠A = α.

∠B = 180° - 2α, тогда AD - биссектриса, так как в равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой.

По свойству биссектрисы:

$$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$$

$$\frac{AB}{BC} = \frac{AC - DC}{DC}$$

$$\frac{28}{BC} = \frac{56 - DC}{DC}$$

Если бы треугольник был равносторонним, то точка D была бы серединой AC, тогда DC = 28.

Предположим, что ∠C = 30°, тогда ∠B = 30°, значит ∠A = 120°.

Обозначим AD = x, CD = 56 - x.

Тогда по теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = 2R$$

Недостаточно данных для решения данной задачи.

Ответ: Недостаточно данных для решения задачи