Точка К – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что плош треугольника КАВ равна половине площади трапеции.

1. Шаг 1: Определение переменных
   • Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC.
   • K - середина боковой стороны CD.
   • h - высота трапеции.
   • AD = a, BC = b.
2. Шаг 2: Выражение площади трапеции

   Площадь трапеции ABCD равна: \[S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

3. Шаг 3: Выражение площади треугольника KAB
   • Проведем высоту h₁ из точки K к основанию AD и высоту h₂ из точки K к основанию BC.
   • Так как K - середина CD, то h₁ + h₂ = h.
   • Площадь треугольника KAD равна: \[S_{KAD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1\]
   • Площадь треугольника KBC равна: \[S_{KBC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2\]
   • Площадь треугольника KAB равна площади трапеции минус площади треугольников KAD и KBC: \[S_{KAB} = S_{ABCD} - S_{KAD} - S_{KBC}\]
   • Подставим известные значения: \[S_{KAB} = \frac{a + b}{2} \cdot h - \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 - \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2\]
4. Шаг 4: Упрощение выражения для площади треугольника KAB

   Умножим на 2: \[2S_{KAB} = (a + b) \cdot h - a \cdot h_1 - b \cdot h_2\]

   Разложим: \[2S_{KAB} = ah + bh - ah_1 - bh_2\]

   Сгруппируем: \[2S_{KAB} = a(h - h_1) + b(h - h_2)\]

   Так как h₁ + h₂ = h, то h - h₁ = h₂ и h - h₂ = h₁

   Получаем: \[2S_{KAB} = ah_2 + bh_1\]

5. Шаг 5: Доказательство равенства

   Высоты h₁ и h₂ являются средними линиями в треугольниках, образованных продолжением боковых сторон трапеции до их пересечения.

   Так как K - середина CD, то h₁ = h₂ = h/2.

   Подставим это в уравнение: \[2S_{KAB} = a \cdot \frac{h}{2} + b \cdot \frac{h}{2}\]

   \[2S_{KAB} = \frac{h}{2} (a + b)\]

   Разделим обе части на 2: \[S_{KAB} = \frac{a + b}{4} \cdot h\]

6. Шаг 6: Сравнение площадей

   Площадь трапеции: \[S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

   Площадь треугольника: \[S_{KAB} = \frac{a + b}{4} \cdot h\]

   Видим, что \[S_{KAB} = \frac{1}{2} S_{ABCD}\]

Что и требовалось доказать.