22 Постройте график функции у = |x|.(x+2)-3x. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график функции $$y = |x|(x+2) - 3x$$

Рассмотрим два случая:

• Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и функция примет вид: $$y = x(x+2) - 3x = x^2 + 2x - 3x = x^2 - x$$
• Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция примет вид: $$y = -x(x+2) - 3x = -x^2 - 2x - 3x = -x^2 - 5x$$

Таким образом, имеем кусочно-заданную функцию: $$y = \begin{cases} x^2 - x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 5x, & x < 0 \end{cases}$$

Найдем вершину параболы для каждого случая:

• Для $$x \geq 0$$: $$y = x^2 - x$$
  $$x_v = \frac{-(-1)}{2(1)} = \frac{1}{2}$$ $$y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$
• Для $$x < 0$$: $$y = -x^2 - 5x$$
  $$x_v = \frac{-(-5)}{2(-1)} = -\frac{5}{2}$$ $$y_v = -(-\frac{5}{2})^2 - 5(-\frac{5}{2}) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = \frac{25}{4}$$

График функции будет состоять из двух частей параболы. Теперь рассмотрим прямую $$y = m$$:

• Прямая $$y = m$$ будет иметь с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину одной из парабол или касается одной из парабол в другой точке.
• Значение m, равное $$-\frac{1}{4}$$, соответствует вершине первой параболы и является единственным решением, поскольку для второй параболы ось симметрии проходит через $$x=-\frac{5}{2}$$, и вся парабола лежит в области $$x<0$$ (по условию задачи), а для параболы $$x^2-x$$ вершина находится в точке $$x=\frac{1}{2}$$.

Ответ: $$m = -\frac{1}{4}$$