Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

Поскольку CD — боковая сторона трапеции, её основания — AD и BC, причём \(AD\parallel BC\). Обозначим длины оснований через \(a\) и \(b\), высоту трапеции — через \(h\).

Выберем координаты: \(A=(0,0)\), \(D=(a,0)\), \(B=(u,h)\), \(C=(u+b,h)\). Так как K — середина CD, то \(K=\left(\frac{a+u+b}{2},\frac h2\right)\).

Площадь треугольника KAB равна половине модуля определителя координат векторов \(AB\) и \(AK\):

\(S_{KAB}=\frac12\left|u\cdot\frac h2-h\cdot\frac{a+u+b}{2}\right|=\frac{h(a+b)}4\).

Площадь трапеции равна \(S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{2}\). Следовательно, \(S_{KAB}=\frac12S_{ABCD}\), что и требовалось доказать.