5. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит ее боковую сторону на отрезки, один из которых равен 13 см. Найдите основания трапеции, если ее периметр равен 62 см.

В равнобокой трапеции точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки $$m$$ и $$n$$. Тогда, по свойству касательных, отрезки от вершины до точки касания равны, то есть верхнее основание равно $$2m$$, а нижнее основание равно $$2n$$. Боковая сторона трапеции равна $$m+n$$. В нашем случае, пусть $$m = 13$$ см. Тогда боковая сторона равна $$13+n$$, верхнее основание $$2m = 2 \cdot 13 = 26$$ см, а нижнее основание $$2n$$. Периметр трапеции равен сумме всех сторон, то есть $$P = 26 + 2n + 2(13+n) = 62$$. Решим уравнение: $$26 + 2n + 26 + 2n = 62$$ $$4n + 52 = 62$$ $$4n = 10$$ $$n = \frac{10}{4} = 2.5$$ см Тогда нижнее основание равно $$2n = 2 \cdot 2.5 = 5$$ см. Ответ: 26 см и 5 см