6. В равнобокой трапеции диагональ равна 24 см и образует с основанием угол в 60°. Найдите основания трапеции, если их разность равна 14 см.

Пусть $$a$$ и $$b$$ – основания трапеции, где $$a > b$$. Дано, что $$a - b = 14$$ и диагональ равна 24 см, а угол между диагональю и основанием равен 60°. Рассмотрим равнобокую трапецию $$ABCD$$, где $$AD = a$$, $$BC = b$$, $$AB = CD$$. Диагональ $$AC = 24$$ см, $$\angle CAD = 60^\circ$$. Проведем высоту $$CE$$ на основание $$AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACE$$ имеем $$\angle CAE = 60^\circ$$. $$AE = AC \cdot \cos 60^\circ = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$ см. Так как трапеция равнобокая, то $$AE = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a-b}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ см. Получили противоречие, так как $$AE$$ должно быть равно 12 см, но из условия разности оснований следует, что $$AE = 7$$ см. Это возможно только если $$\angle CAD = 60^\circ$$ не может быть одновременно равен 60 градусам и условию $$a-b=14$$. Однако, если бы задача была корректна, то рассуждения были бы такими: Поскольку $$\frac{a-b}{2} = 7$$, то $$a - b = 14$$. У нас уже есть это уравнение, поэтому нужно найти другое уравнение. В равнобокой трапеции $$AE = \frac{a - b}{2}$$, но также $$AE = AC\cos{60^\circ} = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$. Значит, $$\frac{a - b}{2} = 12$$, и $$a - b = 24$$. Это несовместимо с условием $$a - b = 14$$. Должно быть $$\angle ACD=60^{\circ}$$ $$\angle CAD
e 60^{\circ}$$. Потому что в трапеции $$AD \parallel BC$$ и соответственные углы равны. Значит, $$\angle BCA=\angle CAD$$. Пусть $$\angle CAD=x$$, $$\angle ACD=60^{\circ}$$, то расмотрим $$\triangle ACD$$, в котором $$\angle ADC = 180-(x+60)$$. Тогда $$\angle BCD = 180-\angle ADC = 180- (180-(x+60)) = x+60$$. Если допустить, что в задаче ошибка и $$AE = 12$$, тогда $$\frac{a - b}{2} = 12$$, то $$a - b = 24$$, чего не может быть, т.к. дано $$a-b = 14$$. Предположим, что вместо разности оснований, известна их сумма. $$a - b = 14$$ $$AE = \frac{a - b}{2} = 7$$ $$AE = AC \cdot \cos(60) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$. Ошибка в условии. Разность оснований и угол несовместимы. Ответ: Задача не имеет решения из-за противоречивых условий.