10. Точка M- середина стороны ВС квадрата ABCD, пло- щадь которого равна 20 см². К отрезку АМ проведен пер- пендикуляр ДК. Найдите площадь четырехугольника DKMC.

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда площадь квадрата $$S = a^2 = 20$$ см², отсюда $$a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ см.

Так как M - середина BC, то $$BM = MC = \frac{a}{2} = \sqrt{5}$$ см.

Рассмотрим треугольник ABM. Он прямоугольный, так как угол B прямой. Его площадь равна $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} = \frac{20}{4} = 5$$ см².

Рассмотрим треугольники ABM и ADK. У них угол A общий, а также углы ABM и ADK прямые, значит, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Так как DK - перпендикуляр к AM, треугольник ADK - прямоугольный. Угол DAM равен углу ADK (так как в сумме с углом MAD составляют 90 градусов в треугольнике ABM).

Треугольники ADK и MBA подобны по двум углам. Значит, их стороны пропорциональны.

$$AK = x$$

Рассмотрим треугольник ABM. По теореме Пифагора: $$AM^2 = AB^2 + BM^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = 20 + 5 = 25$$, следовательно, $$AM = 5$$ см.

Из подобия треугольников ADK и MBA следует пропорция:

$$\frac{AD}{AM} = \frac{AK}{AB}$$, $$AD = a$$, $$AB = a$$

$$\frac{a}{5} = \frac{AK}{a}$$, $$AK = \frac{a^2}{5} = \frac{20}{5} = 4$$ см.

Тогда $$KM = AM - AK = 5 - 4 = 1$$ см.

Площадь треугольника ADK равна $$S_{ADK} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DK$$.

Из подобия треугольников ADK и MBA следует: $$\frac{DK}{BM} = \frac{AK}{AB}$$.

$$DK = \frac{BM \cdot AK}{AB} = \frac{\frac{a}{2} \cdot AK}{a} = \frac{AK}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ см.

Тогда $$S_{ADK} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot 2 = 2\sqrt{5}$$ см².

Площадь четырехугольника DKMC = площадь квадрата ABCD - площадь треугольника ADK - площадь треугольника ABM.

$$S_{DKMC} = S_{ABCD} - S_{ADK} - S_{ABM} = 20 - 2\sqrt{5} - 5 = 15 - 2\sqrt{5}$$ см².

Так как $$\sqrt{5} \approx 2.236$$, то $$S_{DKMC} \approx 15 - 2 \cdot 2.236 = 15 - 4.472 = 10.528$$ см².

Площадь четырехугольника DKMC = площадь квадрата ABCD - площадь треугольника ADK - площадь треугольника ABM.

$$S_{DKMC} = S_{ABCD} - S_{ADK} - S_{ABM} = 20 - 2\sqrt{5} - 5 = 15 - 2\sqrt{5}$$ см².

Площадь треугольника AMD = площадь квадрата - площадь треугольника ABM - площадь треугольника CDM = 20 - 5 - 5 = 10.

Площадь четырехугольника DKMC = площадь треугольника ADM - площадь треугольника ADK = 10 - 2√5.

Ответ: $$10 - 2\sqrt{5}$$ см²