9. Точка О – центр окружности, на которой лежат точки Р. О и В таким образом, что OPQR – ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.

Так как OPQR - ромб, то все его стороны равны. Значит, OP = OQ = OR.

Поскольку OP = OQ = OR, точки P, Q и R лежат на окружности с центром в точке O.

\( \angle POQ = \angle PQR \) (как противоположные углы ромба).

Так как OP = OQ, треугольник OPQ - равнобедренный, и \( \angle OPQ = \angle OQP \).

Сумма углов в треугольнике OPQ равна 180 градусам, поэтому \( \angle POQ = 180 - 2 \cdot \angle OPQ \).

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180 градусам, следовательно \( \angle OPQ + \angle PQR = 180^{\circ} \).

Обозначим \( \angle ORQ = x \). Тогда \( \angle OPQ = x \) (т.к. OPQR - ромб).

Тогда \( \angle PQR = 180^{\circ} - \angle OPQ = 180^{\circ} - x\).

Значит, \( \angle POQ = \angle PQR = 180^{\circ} - x \).

Подставим в уравнение для треугольника OPQ: \(180^{\circ} - x = 180 - 2 \cdot x\)

Решаем уравнение: \(180 - x = 180 - 2x \Rightarrow x = 60^{\circ} \)

Ответ: 60

Проверка за 10 секунд: Угол ORQ равен 60 градусам.

Доп. профит: Знание свойств ромба помогает решать геометрические задачи.