5. Точка О — центр окружности, градусная мера меньшей из дуг AB равна 114 °, ∠CDB=40° (см. рисунок). Найдите величину ∠ DCA (в градусах).

Пошаговое решение:

• Градусная мера дуги AB равна 114°.
• ∠CDB — вписанный угол, опирающийся на дугу CB, и его величина равна 40°. Следовательно, дуга CB равна 2 * 40° = 80°.
• Дуга AC равна полной окружности (360°) минус дуги AB и CB: 360° - 114° - 80° = 166°.
• ∠DCA — вписанный угол, опирающийся на дугу AD. Так как дуга AD не дана, нам нужно выразить ее через известные величины.
• Вписанный угол DBA опирается на дугу DA, и его величина равна половине градусной меры дуги DA. Угол DBA равен углу CDB, так как опираются на одну и ту же дугу CA. Следовательно, дуга DA равна 2 * 40° = 80°.
• ∠DCA — вписанный угол, опирающийся на дугу DA, и его величина равна половине градусной меры дуги DA. ∠DCA = 80° / 2 = 40°.

Ответ: 40°