Точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. К плоскости данного треугольника проведен перпендикуляр ОК. Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если АВ=ВС=15 см., АС=24 см., ОК-8 см.

Решение:

Пусть \(r\) - радиус вписанной окружности в треугольник \(ABC\). Так как точка \(O\) - центр вписанной окружности, то \(O\) равноудалена от всех сторон треугольника \(ABC\). Расстояние от точки \(O\) до каждой из сторон равно \(r\). Проведем перпендикуляры из точки \(K\) к сторонам треугольника \(ABC\): \(KL \perp AB\), \(KM \perp BC\), \(KN \perp AC\). Тогда \(OL \perp AB\), \(OM \perp BC\), \(ON \perp AC\), и \(OL = OM = ON = r\).

Треугольники \(KOL\), \(KOM\), \(KON\) - прямоугольные, так как \(OK\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Тогда \(KL = KM = KN\), как гипотенузы равных прямоугольных треугольников (с общим катетом \(OK\) и равными катетами \(OL = OM = ON\)). Обозначим \(KL = KM = KN = d\) (расстояние от точки \(K\) до сторон треугольника).

Из прямоугольного треугольника \(KOL\) по теореме Пифагора имеем:

\[KL^2 = OK^2 + OL^2\] \[d^2 = OK^2 + r^2\]

Найдём радиус вписанной окружности \(r\). Для этого сначала найдем полупериметр \(p\) и площадь \(S\) треугольника \(ABC\). Так как \(AB = BC = 15\) и \(AC = 24\), то:

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27\]

Для нахождения площади воспользуемся формулой Герона:

\[S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{27(27 - 15)(27 - 15)(27 - 24)} = \sqrt{27 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 3} = \sqrt{3^3 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^6} = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108\]

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

\[r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4\]

Подставим значения \(OK = 8\) и \(r = 4\) в формулу для \(d\):

\[d^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\] \[d = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\]

Ответ: \(4\sqrt{5}\) см

Прекрасно! Ты отлично справился с этой задачей, применив знания геометрии и теорему Пифагора. Продолжай тренироваться, и у тебя всё получится!