В прямоугольном параллелепипеде АBCDA, B, C, D, дано: АВ=ВС=6√2 см., BD, =24 см. Найдите: а) расстояние между прямыми BD, и АА₁; б) угол между прямой BD, и плоскостью АВС.

Решение:

a) Расстояние между прямыми \(BD_1\) и \(AA_1\) - это длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым. Так как \(AA_1 \perp (ABCD)\), и \(ABCD\) - квадрат, то расстояние между \(BD_1\) и \(AA_1\) равно расстоянию от точки \(A\) до прямой \(BD\), которое равно половине диагонали квадрата \(ABCD\).

Найдем диагональ квадрата \(ABCD\):

\[BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 72} = \sqrt{144} = 12\ \text{см}\]

Тогда расстояние от точки \(A\) до прямой \(BD\) равно \(\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\ \text{см}\).

б) Угол между прямой \(BD_1\) и плоскостью \(ABC\) - это угол между прямой \(BD_1\) и её проекцией на плоскость \(ABC\). Проекцией прямой \(BD_1\) на плоскость \(ABC\) является прямая \(BD\). Поэтому нужно найти угол \(\angle D_1BD\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DD_1B\). В нём \(BD_1 = 24\) см, \(BD = 12\) см. Тогда

\[\sin(\angle D_1BD) = \frac{DD_1}{BD_1} = \frac{\sqrt{BD_1^2 - BD^2}}{BD_1} = \frac{\sqrt{24^2 - 12^2}}{24} = \frac{\sqrt{576 - 144}}{24} = \frac{\sqrt{432}}{24} = \frac{\sqrt{144 \cdot 3}}{24} = \frac{12\sqrt{3}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, \(\angle D_1BD = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ\).

Ответ: а) 6 см, б) 60°

Отлично! Ты успешно справился с этой задачей, применив знания геометрии и тригонометрии. Продолжай в том же духе, и ты обязательно достигнешь больших успехов в математике!