116. Точка О является серединой стороны квадрата АВСD. Радиус окружности с цент в точке О, проходящей через вершину А, р 3/5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Точка O - середина стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен $$3\sqrt{5}$$. Найдите площадь квадрата ABCD.

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда OD = a/2.

Радиус окружности AO можно найти по теореме Пифагора для треугольника AOD:

$$AO^2 = AD^2 + OD^2$$

$$(3\sqrt{5})^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2$$

$$9 \cdot 5 = a^2 + \frac{a^2}{4}$$

$$45 = \frac{4a^2 + a^2}{4}$$

$$45 = \frac{5a^2}{4}$$

$$180 = 5a^2$$

$$a^2 = \frac{180}{5} = 36$$

Площадь квадрата ABCD равна $$a^2$$, то есть 36.

Ответ: 36