24. Точка S – середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника SCD равна половине площади трапеции.

Пусть ABCD – трапеция, где AB и CD – боковые стороны, а BC и AD – основания. S – середина стороны AB. Нужно доказать, что площадь треугольника SCD равна половине площади трапеции ABCD.

Обозначим площадь трапеции ABCD как $$S_{ABCD}$$, а площадь треугольника SCD как $$S_{SCD}$$.

Проведем высоту трапеции h из точки S к основанию AD. Эта высота также будет высотой для треугольников SBC и SAD. Так как S – середина AB, то высоты, проведенные из S к основаниям AD и BC, равны половине высоты трапеции.

Площадь трапеции ABCD выражается как:

$$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$

Площадь треугольника SCD можно представить как сумму площадей треугольников SBC и SAD, поскольку S лежит на AB:

$$S_{SCD} = S_{SBC} + S_{SAD}$$.

Выразим площади треугольников SBC и SAD через их основания и высоты:

$$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2}$$

$$S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2}$$

Сложим эти площади, чтобы получить площадь треугольника SCD:

$$S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{h}{4} (BC + AD)$$.

Теперь сравним площадь SCD и половину площади трапеции ABCD:

$$\frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{h}{4} (BC + AD)$$.

Таким образом, получаем, что

$$S_{SCD} = \frac{h}{4} (BC + AD) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Что и требовалось доказать: площадь треугольника SCD равна половине площади трапеции ABCD.