3. Точки А и В лежат по одну сторону от примой. Из этих точек к данной прямой проведены перпендикуляры АМ и В№ так, что АМ-BN и ∠NAM-∠MBN. Докажите, что ∠ANM∠BMN.

Так как АМ и BN - перпендикуляры к одной и той же прямой, то АМ || BN. Значит, ∠NAM и ∠MBN - накрест лежащие углы при параллельных прямых АМ и BN и секущей АВ, а так как ∠NAM = ∠MBN, то треугольник АВN - равнобедренный, и AN = BM.

Рассмотрим треугольники АМN и BNM. В них АМ = BN (по условию), AN = BM (доказано выше), MN - общая сторона. Следовательно, треугольники АМN и BNM равны по трем сторонам.

В равных треугольниках соответственные углы равны, значит, ∠ANM = ∠BMN.

Что и требовалось доказать.