2185. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:14. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Пусть градусные меры дуг $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ относятся как 1:3:14, то есть составляют $$x$$, $$3x$$ и $$14x$$ соответственно. Сумма этих дуг составляет полную окружность, то есть 360°. Получаем уравнение:

$$x + 3x + 14x = 360$$

$$18x = 360$$

$$x = \frac{360}{18} = 20$$

Значит, дуги равны:

• $$AB = 20°$$
• $$BC = 3 \cdot 20° = 60°$$
• $$CA = 14 \cdot 20° = 280°$$

Угол $$ABC$$ опирается на дугу $$AC$$. Так как дуга $$CA=280$$, то $$ABC = \frac{280}{2} = 140°$$

Угол $$BCA$$ опирается на дугу $$AB$$. Так как дуга $$AB=20$$, то $$BCA = \frac{20}{2} = 10°$$

Угол $$CAB$$ опирается на дугу $$BC$$. Так как дуга $$BC=60$$, то $$CAB = \frac{60}{2} = 30°$$

Больший угол треугольника $$ABC$$ равен 140°.

Ответ: 140