Точки E и F лежат на сторонах AD и BC соответственно параллелограмма ABCD, причём AE = ED, BF : FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы m = AB и n = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство EF = x · CD?

Обозначим m = \(\overrightarrow{AB}\), n = \(\overrightarrow{AD}\). Тогда \(\overrightarrow{AD}=\mathbf n\) и \(\overrightarrow{BC}=\mathbf n\).

1. Так как \(AE=ED\), точка E — середина AD, поэтому \(\overrightarrow{AE}=\frac12\mathbf n\).
2. Из отношения \(BF:FC=4:3\) следует \(\overrightarrow{BF}=\frac47\mathbf n\). Следовательно, \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\mathbf m+\frac47\mathbf n\).
3. \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\mathbf m+\left(\frac47-\frac12\right)\mathbf n=\mathbf m+\frac1{14}\mathbf n\).

При этом \(\overrightarrow{CD}=-\mathbf m\). Если бы \(\overrightarrow{EF}=x\overrightarrow{CD}\), то \(\mathbf m+\frac1{14}\mathbf n=-x\mathbf m\), откуда \((1+x)\mathbf m+\frac1{14}\mathbf n=\mathbf0\). Векторы сторон параллелограмма \(\mathbf m\) и \(\mathbf n\) неколлинеарны, поэтому такое равенство невозможно.

Ответ: а) \(\overrightarrow{EF}=\mathbf m+\frac1{14}\mathbf n\); б) нет, такого значения x не существует.