Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠BAC = √15/4.

Пусть O=(28, k) — центр окружности в координатах с A=(0,0) и AC на оси x. Половина хорды MN равна (45−12)/2=33/2, поэтому r²=(33/2)²+k². Условие касания луча AB означает, что расстояние от O до него равно r.

Здесь sin ∠BAC=1/4. Из равенства r=28 sin ∠BAC−k cos ∠BAC и формулы для r получаем k=−14175/(228√15). Тогда

r=√((33/2)²+14175²/(228²·15))=√(1089/4+14175²/779760).

Ответ: √(1089/4+14175²/779760) ≈ 20,6.