Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠BAC = √7/4.

Обозначим через O центр окружности, а через H — точку касания с лучом AB. Выберем координаты так, чтобы A=(0,0), AC была осью x, а луч AB образовывал с AC угол α.

Из пересечения окружности с AC в точках M и N следует, что координаты O имеют вид O=(33,k), а радиус удовлетворяет r²=9²+k². Расстояние от O до прямой AB равно радиусу:

r=33 sin α−k cos α.

Здесь sin α=3/4, cos α=√7/4. Решение уравнения r²=81+k² совместно с условием касания даёт k=8505/(198√7). Поэтому

r=√(81+8505²/(198²·7))=√(81+8505²/274428).

Ответ: √(81+8505²/274428) ≈ 51,8.