Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственн 9 и 20 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки Ми и касающейся луча АВ, если cos∠BAC=\frac{\sqrt{5}}{3}

Пусть O - центр окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB. Пусть R - радиус окружности.

Пусть угол ∠BAC = α. Тогда cos α = $$\frac{\sqrt{5}}{3}$$

По теореме косинусов, $$sin α = \sqrt{1 - cos^2 α} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$

Пусть точка касания окружности и луча AB - точка K. Тогда AK = x.

По теореме об отрезках касательной и секущей, $$AK^2 = AM \cdot AN$$

$$x^2 = 9 \cdot 20 = 180$$

$$x = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$

По теореме синусов для треугольника AMO, $$\frac{AM}{sin ∠AMO} = 2R$$

$$sin ∠AMO = sin (90 - α) = cos α = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$\frac{9}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = 2R$$

$$\frac{27}{\sqrt{5}} = 2R$$

$$R = \frac{27}{2\sqrt{5}} = \frac{27\sqrt{5}}{10}$$

Ответ: $$\frac{27\sqrt{5}}{10}$$