Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 2:3:7. Найдите радиус окружности, если одна из сторон равна 16.

Пусть длины дуг относятся как 2:3:7, тогда углы, на которые опираются эти дуги, также относятся как 2:3:7.

Пусть углы равны 2x, 3x, 7x, тогда 2x+3x+7x=12x=360°, откуда x=30°.

Тогда углы треугольника равны 60°, 90°, 210° (не может быть).

Углы треугольника, опирающиеся на эти дуги, равны 30°, 45°, 105°.

Пусть a, b, c - стороны треугольника, лежащие против углов 30°, 45°, 105° соответственно.

Рассмотрим случай, когда сторона, равная 16, лежит против угла 30°.

По теореме синусов: $$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$$, где R - радиус описанной окружности.

$$\frac{16}{sin 30} = 2R$$

$$\frac{16}{\frac{1}{2}} = 2R$$

$$32 = 2R$$

$$R = 16$$.

Рассмотрим случай, когда сторона, равная 16, лежит против угла 45°.

$$\frac{16}{sin 45} = 2R$$

$$\frac{16}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$$

$$\frac{32}{\sqrt{2}} = 2R$$

$$\frac{16}{\sqrt{2}} = R$$

$$R = 8\sqrt{2}$$.

Рассмотрим случай, когда сторона, равная 16, лежит против угла 105°.

$$\frac{16}{sin 105} = 2R$$

$$sin 105 = sin(60+45) = sin 60 \cdot cos 45 + cos 60 \cdot sin 45 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

$$\frac{16}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 2R$$

$$\frac{64}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2R$$

$$R = \frac{32}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{32(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 8(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

Ответ: 16; $$8\sqrt{2}$$; $$8(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$