3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС в ADC - равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D=90°). Доказать: АВ || CD.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

Т.к. треугольники ABC и ADC - равнобедренные, то AB = BC и AD = DC.

2) Т.к. углы ∠B и ∠D прямые, то ∠B = ∠D = 90°.

3) Рассмотрим четырехугольник ABCD. AC - общая сторона.

Т.к. точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то четырехугольник ABCD - трапеция.

4) Т.к. AB = BC и AD = DC, то трапеция ABCD - равнобедренная.

5) Следовательно, углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA и ∠DAC = ∠DCA.

6) Рассмотрим прямые AB и CD и секущую AC.

Т.к. ∠BAC = ∠DCA (как углы при основании равнобедренной трапеции), то AB || CD (как внутренние накрест лежащие углы при секущей AC).

Что и требовалось доказать.