Третий признак равенства треугольников (формулировка и доказательство).

Формулировка третьего признака равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁. Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Приложим треугольник A₁B₁C₁ к треугольнику ABC так, чтобы вершина A₁ совместилась с вершиной A, вершина B₁ – с вершиной B, а вершины C и C₁ оказались по разные стороны от прямой AB.

Возможны два случая:

1. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB (рис. 1);
2. Луч CC₁ проходит вне угла ACB (рис. 2).

Рассмотрим первый случай (рис. 1).

Так как AC = AC₁ и BC = BC₁, то треугольники ACC₁ и BCC₁ – равнобедренные. Следовательно, углы ACC₁ = AC₁C и BCC₁ = BC₁C. Отсюда получаем: $$ \angle ACB = \angle ACC_1 + \angle BCC_1 = \angle AC_1C + \angle BC_1C = \angle AC_1B $$.

Таким образом, \(\angle ACB = \angle AC_1B\). Итак, AB = AB, AC = AC₁, \(\angle ACB = \angle AC_1B\). Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим второй случай, когда луч CC₁ проходит вне угла ACB (рис. 2).

Тогда \(\angle ACB = \angle ACC_1 - \angle BCC_1 = \angle AC_1C - \angle BC_1C = \angle AC_1B\).

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку.

Что и требовалось доказать.