6. Треугольник ABC — прямоугольный (∠C = 90°). AC = 4 см, проекция катета BC на гипотенузу равна 6 см. Найдите длину гипотенузы треугольника ABC.

Пусть \(BC = a\), \(AC = b = 4\), гипотенуза \(AB = c\), и проекция \(BC\) на гипотенузу равна \(a_{c} = 6\). Используем формулу \(a^2 = c \cdot a_c\), где \(a\) — катет, \(c\) — гипотенуза, и \(a_c\) — проекция катета на гипотенузу. Сначала найдём \(BC = a\). Ищем гипотенузу \(c\). \(c = \frac{a^2}{a_c}\) Также нам известно, что \(b = 4\), тогда по теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\) \(a^2 + 4^2 = c^2\) Подставим \(c = \frac{a^2}{6}\): \(a^2 + 16 = (\frac{a^2}{6})^2\) \(a^2 + 16 = \frac{a^4}{36}\) \(36a^2 + 576 = a^4\) \(a^4 - 36a^2 - 576 = 0\) Пусть \(t = a^2\), тогда: \(t^2 - 36t - 576 = 0\) Решим это квадратное уравнение: \(D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-576) = 1296 + 2304 = 3600\) \(t_1 = \frac{36 + \sqrt{3600}}{2} = \frac{36 + 60}{2} = 48\) \(t_2 = \frac{36 - \sqrt{3600}}{2} = \frac{36 - 60}{2} = -12\) - не подходит, так как \(a^2\) не может быть отрицательным. Тогда \(a^2 = 48\), следовательно, \(a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). \(c = \frac{a^2}{6} = \frac{48}{6} = 8\) **Ответ:** \(AB = 8\) см