Треугольник ABC — равнобедренный (AB=BC). BD — высота, угол C равен 30°, BD = 4 см. Найдите периметр треугольника BDC.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, проведенная к основанию высота BD является также биссектрисой и медианой. Однако, в условии сказано, что AB=BC, значит, основание — AC. BD — высота, значит, \( \angle BDA = \angle BDC = 90° \).

В прямоугольном треугольнике BDC:

1. Угол C = 30°, \( \angle BDC = 90° \).
2. Найдем угол CBD: \( \angle CBD = 180° - 90° - 30° = 60° \).
3. BD = 4 см (катет, противолежащий углу 30°).
4. Найдем гипотенузу BC: \( BC = \frac{BD}{\sin 30°} = \frac{4}{1/2} = 8 \) см.
5. Найдем катет DC: \( DC = BD \cdot \text{ctg} 30° = 4 \cdot \sqrt{3} \) см.
6. Периметр треугольника BDC равен сумме длин его сторон: \( P_{BDC} = BD + DC + BC = 4 + 4\sqrt{3} + 8 = 12 + 4\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 12 + 4\sqrt{3} \) см.