6*. Треугольник AOC – прямоугольный, точка M симметрична вершине O относительно середины гипотенузы AC. Определите вид четырехугольника AMCO.

Пусть K – середина гипотенузы AC. Так как точка M симметрична точке O относительно точки K, то OK = KM. Также AK = KC, так как K – середина AC. Четырехугольник AMCO имеет диагонали AC и OM, которые делятся точкой пересечения K пополам. Значит, AMCO – параллелограмм. Так как треугольник AOC прямоугольный, угол AOC = 90°. Поскольку AMCO – параллелограмм, угол AMC также равен 90°. Диагонали AC и OM равны, так как в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех его вершин (AK = KC = OK). А так как M симметрична O относительно K, то OK = KM, и OM = 2 * OK = 2 * AK = AC. Параллелограмм, у которого диагонали равны и углы прямые, является прямоугольником. Ответ: Четырехугольник AMCO – прямоугольник.