5. Треугольник АВС - равнобедренный с основанием АВ. Точки М и К - середины сторон АС и ВС соответственно, точка Н лежит на стороне АВ, причем ∠AMH = ∠BKH. Найдите ∠BCH и ∠BHC, если ZACB = 32°.

1) Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠ABC. ∠ACB = 32°.

Сумма углов треугольника равна 180°:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

Так как ∠BAC = ∠ABC, то 2∠BAC = 180° - ∠ACB

2∠BAC = 180° - 32° = 148°

∠BAC = 148°/2 = 74°

∠ABC = 74°

2) M и K - середины сторон AC и BC соответственно, значит, MK - средняя линия треугольника ABC. Средняя линия треугольника параллельна основанию, следовательно, MK || AB.

∠AMH = ∠BKH (дано), следовательно, смежные с ними углы также равны: ∠CMK = ∠CKM.

Тогда треугольник CMK - равнобедренный, и CM = CK.

3) Так как M и K - середины сторон AC и BC, то AM = CM и BK = CK. Поскольку CM = CK, то AM = CM = CK = BK, следовательно, CM = CK = AM = BK.

Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный, AC = BC.

∠BCH = (180° - 32°)/2 = 74°

4) Поскольку MK || AB, то ∠BHC = ∠MKC.

Так как ∠ACB = 32°, а ∠CMK = ∠CKM, то ∠CMK = ∠CKM = (180° - 32°)/2 = 74°

Тогда ∠BHC = ∠MKC = 74°.

Ответ: ∠BCH = 74°, ∠BHC = 74°