9. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: М (- 6; 1), N (2; 4), Κ (2; -2). а) Докажите, что MNK- равнобедренный; 6) Найдите высоту, проведённую из вершины М.

а) Чтобы доказать, что треугольник MNK равнобедренный, нужно показать, что две его стороны имеют одинаковую длину.

Найдем длины сторон MN, NK и MK:

$$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

$$NK = \sqrt{(x_K - x_N)^2 + (y_K - y_N)^2} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 36} = \sqrt{36} = 6$$

$$MK = \sqrt{(x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2} = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

Видим, что MN = MK = sqrt(73). Следовательно, треугольник MNK равнобедренный (с основанием NK).

б) Для нахождения высоты, проведённой из вершины M, нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из точки M на сторону NK. Поскольку NK является вертикальной линией (x_N = x_K), высота будет горизонтальной линией, длина которой равна разности x-координат точки M и прямой NK.

Прямая NK задана уравнением x = 2. Расстояние от точки M(-6; 1) до прямой x = 2 равно:

$$h = |x_M - 2| = |-6 - 2| = |-8| = 8$$

Ответ: а) MN = MK, следовательно, треугольник MNK - равнобедренный. б) Высота, проведённая из вершины М, равна 8.