750. Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число.

Пусть трёхзначное число имеет вид $$100a + 10b + 7$$. После перестановки цифры 7 на первое место, получается число $$700 + 10a + b$$. По условию, $$700 + 10a + b = 100a + 10b + 7 + 324$$. Упростим уравнение: \begin{align*} 700 + 10a + b &= 100a + 10b + 7 + 324 \ 700 + 10a + b &= 100a + 10b + 331 \ 700 - 331 &= 100a - 10a + 10b - b \ 369 &= 90a + 9b \ 41 &= 10a + b \end{align*} Итак, $$10a + b = 41$$, следовательно, $$a = 4$$ и $$b = 1$$. Тогда исходное число равно $$100 \cdot 4 + 10 \cdot 1 + 7 = 400 + 10 + 7 = 417$$. Ответ: 417