Цилиндр, объём которого равен 114, описан около шара. Найдите объём шара.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о соотношении объемов цилиндра и вписанного в него шара.

1. Объем цилиндра: Пусть радиус основания цилиндра равен \( r \), а высота равна \( h \). Тогда объем цилиндра равен \[ V_{цил} = \pi r^2 h \]

2. Объем шара: Шар вписан в цилиндр, это означает, что диаметр шара равен высоте цилиндра, то есть \[ h = 2r \]

Радиус шара также равен радиусу основания цилиндра.

Объем шара равен

\[ V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

3. Соотношение объемов: Теперь выразим объем цилиндра через радиус шара:

\[ V_{цил} = \pi r^2 (2r) = 2 \pi r^3 \]

Выразим объем шара через объем цилиндра:

\[ V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (2 \pi r^3) = \frac{2}{3} V_{цил} \]

4. Вычисление объема шара: Подставим заданный объем цилиндра \[ V_{цил} = 114 \] в формулу для объема шара:

\[ V_{шара} = \frac{2}{3} \cdot 114 = 2 \cdot 38 = 76 \]

Ответ: 76