Тут ужас до того овладел Берлиозом, что он закрыл глаза.

Для определения вида придаточного предложения необходимо задать вопрос от главного предложения к придаточному. В данном предложении зададим вопрос: Ужас овладел Берлиозом в какой степени? – до того, что он закрыл глаза. Придаточные, отвечающие на вопросы в какой степени? в какой мере? насколько?, являются обстоятельственными меры и степени.

Следовательно, придаточное предложение в данном случае – обстоятельственное меры и степени.

Ответ: придаточное обстоятельственное меры и степени