14 У Олеси есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 288 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, будет меньше 3 см? Ответ:

Пусть $$h_n$$ - высота после n-го отскока. Тогда $$h_1 = 288$$. По условию, после каждого следующего отскока высота уменьшается в два раза, то есть $$h_{n+1} = \frac{h_n}{2}$$. Таким образом, мы имеем геометрическую прогрессию, где $$h_n = h_1 \cdot q^{n-1}$$, где $$q = \frac{1}{2}$$. Нам нужно найти такое $$n$$, что $$h_n < 3$$. $$288 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} < 3$$ $$(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{3}{288} = \frac{1}{96}$$ Берем логарифм по основанию 2 обеих частей: $$(n-1) \cdot \log_2(\frac{1}{2}) < \log_2(\frac{1}{96})$$ $$-(n-1) < \log_2(\frac{1}{96}) = -\log_2(96)$$ $$n-1 > \log_2(96)$$ $$n > \log_2(96) + 1$$ Так как $$2^6 = 64$$ и $$2^7 = 128$$, то $$\log_2(96)$$ находится между 6 и 7. Приблизительно, $$\log_2(96) \approx 6.58$$. $$n > 6.58 + 1 = 7.58$$ Так как n должно быть целым числом, то наименьшее подходящее значение $$n = 8$$. То есть после 8-го отскока высота будет меньше 3 см. Ответ: 8