8. У рівнобедрений трикутник вписано коло, що ділить бічну сторону у відношенні 2 : 3, починаючи від вершини, яка протилежна основі. Знайдіть периметр трикутника, якщо його основа дорівнює 12 см.

Розв'язання: Нехай дано рівнобедрений трикутник ABC, де AB = BC, і AC = 12 см (основа). Коло вписане в цей трикутник і ділить бічну сторону, наприклад AB, у відношенні 2:3, починаючи від вершини B. Отже, нехай точка дотику кола до сторони AB буде D. Тоді BD:DA = 2:3. Це означає, що якщо BD = 2x, то DA = 3x. Тоді вся бічна сторона AB = BD + DA = 2x + 3x = 5x. За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо, що відрізки дотичних, проведених з однієї вершини до кола, рівні. Отже, якщо DA = 3x, то і AE = 3x, де E - точка дотику кола до сторони AC. Аналогічно, якщо CF = CE, де F - точка дотику до сторони BC, то CF = CE. Оскільки трикутник рівнобедрений, то AB = BC = 5x. Отже, CF = BC - BF = 5x - BF. Але BF = BD = 2x (дотичні з однієї точки), отже CF = 5x - 2x = 3x. Таким чином, AC = AE + EC = 3x + 3x = 6x. За умовою AC = 12 см, отже, 6x = 12, звідки x = 2. Тепер знаходимо бічні сторони: AB = BC = 5x = 5 * 2 = 10 см. Периметр трикутника P = AB + BC + AC = 10 + 10 + 12 = 32 см. Відповідь: 32 см