У трикутнику ABC ∠C=90°, ∠A=60°, АМ - бісектриса трикутника. Знайдіть довжину катета ВС, якщо МВ=7 см.

Оскільки $$\angle C = 90^\circ$$ і $$\angle A = 60^\circ$$, то $$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. Оскільки AM - бісектриса, то $$\angle BAM = \angle CAM = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$. Розглянемо трикутник ABM. У ньому $$\angle BAM = \angle ABM = 30^\circ$$, отже, трикутник ABM - рівнобедрений, і AM = MB = 7 см. Розглянемо трикутник AMC. У ньому $$\angle CAM = 30^\circ$$, $$\angle C = 90^\circ$$, отже, $$\angle AMC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. Тоді трикутник AMC - прямокутний трикутник з кутом 30 градусів. Катет, що лежить проти кута 30 градусів, дорівнює половині гіпотенузи. Отже, AC = $$\frac{AM}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$$ см. Тепер розглянемо трикутник ABC. У ньому $$\angle A = 60^\circ$$, отже, $$\tan{A} = \frac{BC}{AC}$$ $$\tan{60^\circ} = \frac{BC}{3.5}$$ $$BC = 3.5 \cdot \tan{60^\circ} = 3.5 \cdot \sqrt{3} \approx 3.5 \cdot 1.732 = 6.062$$ см. Відповідь: Довжина катета BC дорівнює $$3.5\sqrt{3}$$ см або приблизно 6.062 см.